ANÁLISIS DE LAS CARACTERÍSTICAS DE LOS SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

Se denomina sólido de revolución o volumen de revolución, al sólido obtenido al rotar una región del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, las cuales pueden o no cruzarse. Dicha recta se denomina eje de revolución.

Sea f una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. Si la región R indicada en la figura rota alrededor del eje X, ésta genera un sólido de revolución cuyo volumen tratamos de determinar.

Un sólido de revolución es una figura sólida obtenida como consecuencia de hacer rotar una región plana alrededor de una recta cualquiera que esté contenida en el mismo plano. Una superficie de revolución es la superficie exterior de un sólido de revolución, es decir, encierra una porción de espacio dentro de la misma.f,g:R→R$f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, cuya gráfica está contenida en el plano R2
${\mathbb{R}}^2$, obtendremos un sólido de revolución al rotar la gráfica de la región plana encerrada por dichas funciones alrededor de una recta dada r$r$ (generalmente uno de los ejes de coordenadas o una recta paralela a uno de ellos). Un ejemplo clásico es la figura tridimensional obtenida al rotar una circunferencia cuyo centro no sea el origen de coordenadas alrededor de cualquiera de los ejes de coordenadas. El sólido de revolución generado de esta manera se conoce con el nombre de Toro .dx$dx$ que aparece en el símbolo de integración. Veamos a continuación algunos métodos para el cálculo de volúmenes de sólidos de revolución.r$r$definido como la distancia entre la función y el eje de rotación. De este modo, si cada disco tiene área igual a πr2
$\pi r^2$ y espesor Δx$\mathrm{\Delta }x$, entonces su volumen es V=πr2Δx$V=\pi r^2\mathrm{\Delta }x$ (área de la base por altura).f(x)$f(x)$ y el eje X
$X$alrededor de una recta de ecuación y=k$y=k$ (paralela al eje X
$X$ o eje horizontal) viene dado por la expresión:

En lenguaje matemático, si tenemos dos funciones 

Empleando el cálculo integral es posible calcular el volumen de superficies de este tipo. El que ha estudiado algo de integración sabe que la integral es una suma continua con infinitos sumandos, y a través de la definición de Riemann entendemos que se trabaja siempre con elementos de tamaño infinitesimal que, en cálculo, digamos que son los diferenciales, es decir, el 

Este método consiste en algo así como "rebanar" el sólido en infinitos discos. Por ejemplo, si consideramos un cilindro, podemos "rebanarlo" en pequeñas porciones circulares. Al colocarlas todas juntas obtendremos el volumen del cilindro original. Para trabajar con el cálculo integral, es necesario que cada disco o "rebanada" tenga un grosor infinitesimal.

Así, consideraremos una sección de altura infinitesimal y con un área equivalente al de una circunferencia con radio 

Por tanto, el volumen del sólido de revolución generado al rotar la región plana delimitada por la curva