RAZÓN DE CAMBIO DE UN PROCESO

El concepto de razón de cambio se refiere a la medida en la cual una variable se modifica con relación a otra. Se trata de la magnitud que compara dos variables a partir de sus unidades de cambio. En caso de que las variables no estén relacionadas, tendrán una razón de cambio igual a cero.

Razón de cambio (de una variable respecto a otra) es la magnitud del cambio de una variable por unidad de cambio de la otra. (También se le llama tasa de cambio.) Si las variables no tienen ninguna dependencia la tasa de cambio es cero.

En general, en una relación funcional y=f(x)$y=f(x)$, la razón de cambio de la variable dependiente y$y$ respecto a la independiente x$x$ se calcula mediante un proceso de límite --de la razón [f(x+t)−f(x)]/t$[f(x+t)-f(x)]/t$, denominada cociente diferencial.

En sentido estricto entonces, la razón de cambio es el límite del cociente diferencial cuando t$t$tiende a cero. De esta manera, la razón de cambio es la interpretación fundamental de la derivada de una función.

En la función lineal f(x)=mx+b$f(x)=mx+b$, no es necesario tomar el límite pues  f(x+t)−f(x)=mx+mt+b−mx−b=mt$f(x+t)-f(x)=mx+mt+b-mx-b=mt$ y la t se cancela en la razón [f(x+t)−f(x)]/t$[f(x+t)-f(x)]/t$ sin necesidad de pasar al límite.

Nótese que m$m$ es la pendiente de la recta f(x)=mx+b$f(x)=mx+b$. Y es la razón de cambio de la altura y$y$ (variable dependiente) respecto a la x$x$ (variable independiente. Viéndolo gráficamente, es el cambio en la altura y$y$ por unidad de cambio (aumento) en la x$x$.

En matemáticas escolares la razón de cambio más usada es la velocidad: v=d/t$v=d/t$ (distancia recorrida por unidad de tiempo). La velocidad es, de hecho, la razón de cambio ejemplar o prototipo. Por analogía, se le llama "velocidad" a una razón de cambio cualquiera. Por ejemplo, en problemas de proporción inversa.

1. 1. Razón de cambio  Se conoce como razón de cambio a la medida en que una variable cambia con respecto a otra, como por ejemplo la velocidad, la cual es una razón de cambio del espacio con respecto al tiempo: lim(Dx/Dt, t tiende a cero)
2. 2. Diferencial  Un diferencial se define como un infinitesimal, que es una diferencia entre dos puntos de una misma variable, pero que dicha diferencia es extremadamente pequeña, tanto que tiende a ser cero, se acerca mucho al cero, pero no llega a ser 0: Da tiende a 0.
3. 3. Aplicaciones  Las aplicaciones son varias, para la razón de cambio, su principal uso es la minimización o maximización de funciones. Son usados en economía (para minimizar costos, maximizar calidad, etc.),física (evaluar la máxima velocidad de un cuerpo, por ejemplo), geometría (minimizar la cantidad de material para construir un cilindro, por ejemplo), etc.
4. 4. Aplicaciones  Son muchas las aplicaciones de la razón de cambio. Para las estimaciones de los errores puede ser usado en los cálculos por medio de métodos numéricos. Los diferenciales son usados principalmente para cálculos más excatos en una suma, pues el integral se define como la sumatoria de diferenciales, en sí el integral es una suma. La función más conocida para la estimación de error es la "función error" (erf(x)), el cual se defiene como: erf(x)=int(f(x)dx,0,x)/raiz(2*pi)
5. 5. Ejemplos de una razon de cambio  Comenzando por la Razón Instantánea de Cambio de una función cuya variable independiente es el tiempo t. suponiendo que Q es una cantidad que varía con respecto del tiempo t, escribiendo Q=f(t), siendo el valor de Q en el instante t. Por ejemplo El tamaño de una población (peces, ratas, personas, bacterias,…) La cantidad de dinero en una cuenta en un banco El volumen de un globo mientras se infla La distancia t recorrida en un viaje después del comienzo de un viaje El cambio en Q desde el tiempo t hasta el tiempo t+"t, es el incremento